直线与双曲线的位置关系
从判别式到弦长 —— 拖动斜率，亲眼看看交点是怎么变化的
学习目标
把“直线与椭圆”的方法搬到双曲线上，再补上双曲线独有的“渐近线”坑。
- 1理解直线与双曲线的位置关系（相交、相切、相离），掌握用判别式判定公共点个数的方法 —— 重点
- 2会处理“有且只有一个公共点”的两类情形：相切 与 与渐近线平行 —— 难点
- 3会求解弦长问题与中点弦问题（韦达定理法、点差法），并注意参数范围的检验
方法迁移
研究直线与椭圆时，我们靠联立消元 → 判别式判断位置关系。双曲线多了一条椭圆没有的“渐近线”——当直线与渐近线平行时，消元后二次项系数为 0，判别式“失灵”，这正是双曲线特有的情形。
一、直线与双曲线的位置关系
类比直线与椭圆：三种基本关系 —— 相交、相切、相离；但双曲线多一个“特例”。
相交
两个公共点（不一定同支），或与渐近线平行时的一个公共点
相切
有且仅有一个切点，判别式 Δ = 0
相离
没有公共点，判别式 Δ < 0
判别法：联立 → 消元 → 看二次项系数与 Δ
联立 { x²a² − y²b² = 1 ， y = kx + m }，消去 y，化为 ax² + bx + c = 0。
直线与双曲线只有一个公共点，既可能是相切（Δ = 0），也可能是与渐近线平行（a = 0）——两种情形都要讨论。
解题注意（易错点）
- 不仅要看判别式，更要注意二次项系数 a = 0 时直线与渐近线平行的特殊情况。
- “只有一个公共点”分两类讨论：相切 或 与渐近线平行。
- 设直线方程时，先讨论斜率是否存在（本例直线过定点，斜率恒存在）。
- “两解不一定同支”：交点可能在同一支上，也可能分别在两支上，用韦达定理判断 x₁x₂ 的符号。
即时判断 · 考考你
双曲线为 x² − y² = 4（渐近线 y = ±x）。先自己算，再点选项看反馈。
交点实验室
双曲线 x² − y² = 4，直线 y = k(x−1) 恒过定点 (1, 0)。拖动滑块改变斜率 k，观察公共点个数与判别式 Δ 的变化。
例 1 · 由斜率 k 判断公共点个数
已知双曲线 x² − y² = 4，直线 l：y = k(x−1)。逐层点击展开 —— 这正是实验室的“标准答案”。
先自己动笔，再展开对照。
联立 { x² − y² = 4, y = k(x−1) }，消去 y，得
(1−k²)x² + 2k²x − k² − 4 = 0 (*)
当 1−k² ≠ 0，即 k ≠ ±1 时，(*）才是二次方程，此时
Δ = (2k²)² − 4(1−k²)(−k²−4) = 4(4−3k²)。
两个不同公共点 ⟺ 方程有两不等实根：
{ 4−3k² > 0 ， 1−k² ≠ 0 }
解得 −2√33 < k < 2√33 且 k ≠ ±1。
关键：一解 ≠ 相切。可能相切（Δ = 0），也可能与渐近线平行（二次项系数 = 0）。
{ 4−3k² = 0 ， 1−k² ≠ 0 } ⟹ k = ±2√33
此时方程 (*) 有两个相等实根，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点。
当 k = ±1 时，直线与双曲线的渐近线 y = ±x 平行，方程 (*) 化为
2x = 5
只有一个实数解，直线与双曲线相交，有且只有一个公共点（不是相切！）。
当 k = ±2√33 或 k = ±1 时，直线 l 与双曲线有且只有一个公共点。
若直线 y = kx + 2 与双曲线 x² − y² = 6 的右支交于不同的两点，求 k 的取值范围。
① 联立：代入整理得 (1−k²)x² − 4kx − 10 = 0。
② 设交点 A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)。交于右支不同两点 ⟺ 两实根存在且都为正：
{ 1−k² ≠ 0 ， Δ = 16k² + 40(1−k²) > 0 ， x₁+x₂ = 4k1−k² > 0 ， x₁x₂ = −101−k² > 0 }
③ 解得 −√153 < k < −1，即 k ∈ (−√153, −1)。
技巧：x₁x₂ > 0 保证两根同号（同在右支），x₁+x₂ > 0 保证同为正。
二、弦长公式
弦长问题的解法与椭圆类似，核心是把“弦长”翻译成“两根之差”。
弦长公式（直线 y = kx + m 与双曲线交于 A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)）
|AB| = √(1+k²) · |x₁ − x₂| = √(1+k²) · √[(x₁+x₂)² − 4x₁x₂]
- 由韦达定理直接得到 x₁+x₂ 与 x₁x₂，代入即可，不必真的求出交点坐标。
- 若题目给的是倾斜角 θ，则 k = tan θ。
- 过焦点的弦，也可以先用双曲线定义转化再算。
过双曲线 x²3 − y²6 = 1 的右焦点 F₂，倾斜角为 30° 的直线交双曲线于 A、B 两点，求 |AB|。
由标准方程：a²=3，b²=6，c²=9，焦点 F₁(−3,0)、F₂(3,0)。
倾斜角 30° ⟹ k = √33，直线 AB：y = √33 (x−3) ①
代入双曲线消去 y，得 5x² + 6x − 27 = 0，解得 x₁ = −3，x₂ = 95。
代回①得 y₁ = −2√3，y₂ = −2√35，于是
|AB| = √[(x₁−x₂)² + (y₁−y₂)²] = √[(−245)² + (−8√35)²] = 16√35
若直线 l：y = kx − 1 与双曲线 C：x²2 − y² = 1 交于 A、B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 −2，求线段 AB 的长。
设 A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)。联立消去 y，得 (1−2k²)x² + 4kx − 4 = 0。
l 与 C 有两个交点 ⟹ 1−2k² ≠ 0 且 Δ = 16−16k² > 0，即 −1 < k < 1 且 k ≠ ±√22 ①
韦达定理：x₁+x₂ = −4k1−2k²，x₁x₂ = −41−2k²
中点横坐标为 −2 ⟹ x₁+x₂2 = −2 ⟹ −4k1−2k² = −4
即 2k² + k − 1 = 0，解得 k = −1 或 k = 12；结合①，取 k = 12。
此时 x₁+x₂ = −4，x₁x₂ = −8，于是
|AB| = √(1+k²)·√[(x₁+x₂)² − 4x₁x₂] = √(54)·√(16+32) = 2√15
三、中点弦问题：两种方法对垒
已知弦的中点，反求弦所在直线 —— 常用“韦达定理法”或“点差法”。注意：点差法求出的直线必须代回验证！
已知双曲线 x² − y²2 = 1。试问：双曲线上是否存在被点 B(1,1) 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由。
假设存在被 B 平分的弦，设其方程为 y = k(x−1) + 1，代入双曲线得
(k²−2)x² − 2k(k−1)x + k² − 2k + 3 = 0
须有 k²−2 ≠ 0，且 Δ = [−2k(k−1)]² − 4(k²−2)(k²−2k+3) > 0，解得 k < 32 且 k ≠ ±√2 ①
设弦两端为 M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂)，则 x₁+x₂ = 2k(k−1)k²−2。
B(1,1) 是中点 ⟹ x₁+x₂2 = 1 ⟹ k(k−1)k²−2 = 1，解得 k = 2。
但 k = 2 > 32，不满足① —— 与“两交点”条件矛盾。
故双曲线上不存在被点 B(1,1) 平分的弦。
设 M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂)，由中点得 x₁+x₂ = 2，y₁+y₂ = 2。
x₁² − y₁²2 = 1 ① ， x₂² − y₂²2 = 1 ②
① − ②：(x₁+x₂)(x₁−x₂) − 12(y₁+y₂)(y₁−y₂) = 0，代入得 k_MN = y₁−y₂x₁−x₂ = 2。
直线 MN：y − 1 = 2(x−1)，即 y = 2x − 1。
联立 { y = 2x−1 ， x² − y²2 = 1 } 消去 y，得 2x² − 4x + 3 = 0。
Δ = −8 < 0，直线与双曲线不相交 —— 点差法求出的直线是“假弦”。
故双曲线上不存在被点 B(1,1) 平分的弦。
变式训练 · 动手算一遍
已知双曲线 x² − y²3 = 1，过其右焦点 F₂ 且倾斜角为 45° 的直线 l 交双曲线于 A、B 两点，求 |AB|。
① a²=1，b²=3，c²=4 ⟹ F₂(2,0)；k = tan45° = 1，直线 l：y = x − 2。
② 联立：代入双曲线得 2x² + 4x − 7 = 0。
③ 判断同支/异支：x₁x₂ = −72 < 0 ⟹ A、B 不在同一支上（一左一右）。
④ 弦长公式：x₁+x₂ = −2，x₁x₂ = −72，
|AB| = √(1+k²)·√[(x₁+x₂)² − 4x₁x₂] = √2·√(4+14) = 6
一页总结
把这一节的全部结论压成两张表。
口诀
判别式看交点，二次系数先讨论：a = 0 时渐近线平行，一解未必是相切。
弦长公式两根差，中点弦要验证：韦达符号判同支，点差求完代回看。